В построении пропорций возможны два основных метода.

1. Арифметические системы, где пропорции вычисляются абстрактным методом (по числам). Разновидностью этого способа является модульная система, при которой размер какой-либо части здания (например, диаметр колонны) принимается за единицу (модуль) и по отношению к нему все остальные размеры выражаются в простых числах.

2. Геометрические системы пропорций, где все три проекции сооружения определяются путем геометрических построений (чаще всего на основе квадрата или круга). Наибольшую роль здесь играет принцип подобия частей.

Частным случаем геометрических построений является группа отношений так называемого «золотого сечения» (т. е. деления отрезка в среднем и крайнем отношении), при котором весь отрезок так относится к большей своей части, как большая часть относится к меньшей. Таким образом, постоянная пропорция этой системы, образуя убывающую или возрастающую прогрессию, связывает воедино все элементы здания, от больших до самых малых величин.

Золотым сечением наиболее часто занимались теоретики, исходя из квадрата, точнее, из двух квадратов (Хембидж) или из деления окружности на десять частей (Мёссель).

Оба названных исследователя приводят, кроме того, общие законы построений, объясняющие все схемы геометрических пропорций. Мёссель, например, выводит все геометрические фигуры из деления окружности на различное число частей. По Мёсселю пропорции храма Хонсу в Карнаке были определены путем вписывания его в круг (описанный веревкой на земле), разделенный на восемь частей (рис. 129).

Система пропорций, применявшаяся в архитектуре Древнего Египта, построена на квадрате и его производных (рис. 130). Эту систему построения ряда последовательно увеличивающихся производных квадрата мы будем называть в дальнейшем системой диагоналей.

Эти четыре фигуры, связанные между собой общим построением, обладают интересными свойствами. Первая фигура — квадрат — одна из простейших фигур, имеющая равные стороны. Она является основной формой в ранней архитектуре Древнего Египта, так же как и связанная с ней вторая фигура — прямоугольник с отношением сторон, равным отношению стороны квадрата к его диагонали (рис. 131).

Отношение сторон в нем ^√2/₁ = 1,4142 или ¹/_√2 = 0,7071.

Третья фигура имеет отношение сторон ¹/_√3 = 0,5773 или ^√3/₁ = 1,7321.

Половина этого прямоугольника образует прямоугольный треугольник с меньшей стороной, равной половине гипотенузы, и с углами 30° и 60°. Хорошо знакомый всем угольник с такими углами является, вероятно, самым ранним вспомогательным прибором в работе архитектора, наравне с угольником, имеющим угол 45° и равным половине квадрата.

Отношение большего катета к гипотенузе в треугольнике с углом 60° равно ^√3/₂ = 0,866.

Четвертая фигура представляет собой прямоугольник, составленный из двух квадратов (рис. 133).

В нем примечательно часто встречающееся в Египте отношение диагонали к большей стороне ^√5/₂ = 1,11805, совпадающее с «функцией» золотого сечения. Отношение малого катета к диагонали ¹/_√5 = 0,4472.

Эти шесть связанных между собой величин:
1) квадрат;
2) его диагональ;
3) прямоугольный треугольник с углом 60°;
4) прямоугольник, состоящий из двух квадратов;
5) и 6) отношения его диагонали к сторонам ^√5/₂ и ^√5/₁ — лежат в основе пропорций большинства сооружений Древнего царства.

Иногда кроме квадрата применялся равносторонний треугольник (рис. 134).

Он имеет уже знакомое отношение высоты к стороне — ^√3/₂ : 1 = 0,866 или стороны к высоте 1 : ^√3/₂ = 1,155.

Все эти фигуры могут быть построены в натуре при помощи простой веревки. Даже прямоугольник с таким иррациональным и, казалось бы, сложным отношением сторон, как ^√5/₂ = 1,118, которое является отношением диагонали двух квадратов к стороне (рис. 135), может быть построен этим простейшим способом (такой прямоугольник условно называется в дальнейшем неточным квадратом).

Это же отношение может быть получено при помощи диагонали полуквадрата (рис. 136), так как половина квадрата составляет прямоугольник в два малых квадрата.

Система квадрата и его производных стала применяться, вероятно, еще в архаическом периоде. По этим пропорциям построен один из самых ранних египетских памятников — предполагаемая гробница фараона Менеса в Негаде, относящаяся к I династии (рис. 137).

Особенность описанной выше системы построения последовательно увеличивающихся прямоугольников при помощи диагоналей заключается в том, что большие величины (диагонали) оказываются производными от меньших величин — сторон квадрата или прямоугольника. Поэтому в ранних памятниках построение должно было идти от части к целому. Дионисий Галикарнасский, историк I в. до н. э., приписывает египетским скульпторам применение «аналогии от наименьшей [величины] до наибольшей».

Такой исходной величиной в гробнице Менеса служит ширина основной камеры, равная высоте равностороннего треугольника, вписанного в эту камеру. Половина этой меньшей стороны камеры будет модулем построения пропорций; обозначим ее буквой а. Интересен тот факт, что начальная фигура построения не является точным квадратом (²/_√3 = 1,155), хотя и очень близка к нему.

Этот прием будет иногда повторяться в последующих памятниках.

Все дальнейшее построение пропорций гробницы в Негаде основано только на квадратах.

Исходя из фигуры центральной камеры, легко построить пропорции среднего объема ИКМ₃Н₃, включающего пять внутренних камер. Центральная камера (в план которой может быть вписан равносторонний треугольник) окружена стенами, толщина которых равна половине ширины камеры, т. е. модулю а. Вся ширина центрального объема поэтому равна 4а. К полученному прямоугольнику ДБЖЗ с меньших сторон были прибавлены два точных квадрата — ЗЖМ₃Н₃ и ИКБД. В них заключено по две камеры, равные половине центральной; следовательно, в эти камеры вписываются прямоугольные треугольники с углом в 60°. Две из этих камер примыкают к стенам центральной камеры; положение двух крайних определено пересечениями их внешних углов с диагоналями квадратов.

Положение внешних стен определяется путем удвоения ширины центральной части плана — ИКМ₃Н₃. Общая ширина гробницы ПР (без постамента), таким образом, равна 8а. Внешние габариты ее близки к двум квадратам, но, как понятно из построения, отличаются от них в сторону удлинения на разность сторон центральной камеры. Габариты же постамента гробницы СТУФ равны точно двум квадратам. Ширина постамента определяется точками пересечения (X и Щ) диагоналей боковых квадратов среднего объема (ОЖ,0З и 0₁Б,0₁Д ).

Непонятное на первый взгляд несовпадение толщины внешней стены с разбивочным модулем а указывает на то, что в данном случае наряду с методом кратного повторения модуля, применен какой-то иной способ построения пропорций. Этим способом является, вероятно, метод последовательно увеличивающихся квадратов, представляющий известную аналогию с описанным выше (рис. 130) способом построения по системе диагоналей. Сущность этого метода пояснена на рис. 138. В основу построения положен квадрат №1. Его диагональю ОМ₁ как радиусом, производится засечка на оси абсцисс (и ординат). Из за сеченной точки Л₂ восстанавливается перпендикуляр, который отсекает на линии диагоналей (на биссектрисе) отрезок ОМ₂, являющийся диагональю квадрата №2. Затем радиусом ОМ₂ повторяется засечка оси абсцисс, определяющая точку Л₃, и т. д. В этом построении сторона каждого последующего квадрата относится к стороне предыдущего, как диагональ квадрата к его же стороне, т. е. как ^√2/₁. Так же относятся друг к другу и диагонали последовательных квадратов:

ОЛ₂/ОЛ₁ = ОЛ₃/ОЛ₂ = ОЛ₄/ОЛ₃ = ОЛ₅/ОЛ₄ = ... = ^√2/₁
ОМ₂/ОМ₁ = ОМ₃/ОМ₂ = ОМ₄/ОМ₃ = ОМ₅/ОМ₄ = ... = ^√2/₁

Откуда
ОЛ₃ = 2ОЛ₁ ; ОЛ₅ = 2ОЛ₃;
ОМ₃ = 2ОМ₁; ОM₅ = 2ОM₃.

Поскольку
OЛ₂ = OЛ₁ (√2)¹
ОЛ₃ = ОЛ₁ (√2)² = 2ОЛ₁;
ОЛ₄ = ОЛ₁ (√2)³ = ОЛ₂ х 2√2;
ОЛ₅ = ОЛ₁ (√2)⁴ = 4ОЛ₁

Из указанных равенств видно, что метод последовательного построения квадратов дает при двукратном применении удвоение размера, откуда вытекает совпадение найденных этим методом угловых точек М₃ и М₅ с точками пересечения соответствующих линий стен (рис. 137), построенных способом повторного отложения (удвоения) модуля а, как описано выше. Метод последовательно увеличивающихся квадратов дает, однако, помимо точек М₃ и М₅ также и точку М₄, которая определяет ширину внешнего кольца камер и, следовательно, толщину наружной стены. Точка М₂ остается неиспользованной.

Таким образом, система модульных кратных отношений сочетается с методом последовательно построенных квадратов и с системой диагоналей (или иррациональных величин). Примитивную модульность раннего Египта нельзя признать развитой системой арифметических кратных отношений; она сводится к простым удвоениям величин, вытекающим из употребления указанных двух способов пропорционального построения, дающих последовательно то целые, то иррациональные величины.

Из остальных пропорциональных зависимостей в гробнице в Негаде следует отметить равенство расстояния между осями выступов фасада и толщины внешней стены. Так, построение фасада связывается со всеми остальными размерами плана. Вертикальные пропорции фасада трудно определить, так как гробница сохранилась плохо.

В такой законченной системе квадратов обращает на себя внимание появление неквадратной формы в основе всего построения пропорций. Этот факт легко объясняется приемами построения прямого угла. В условиях примитивной техники восстановление в натуре перпендикуляра к прямой возможно только методом засечек при помощи веревок. Применявшийся позднее «священный» египетский треугольник со сторонами 3 : 4 : 5 , служивший, по Плутарху, египтянам для построения прямого угла, в ранних памятниках не обнаруживается.

При построении засечками перпендикуляра к прямой возможны три различных итога.

1. Если мы примем для радиуса засечек заданное расстояние между исходными точками построения а , то в результате получим равносторонний треугольник (139).

Построив засечками около одного из углов равностороннего треугольника две его половины, мы получим прямоугольник с отношением сторон ^а/_б = ^1,155/₁ (рис. 140)

Таким методом и построены пропорции центральной и боковых камер гробницы в Негаде.

2. Если мы берем произвольные радиусы, то на полученном перпендикуляре можно отложить заданное расстояние а двумя способами.

Отложив отрезок а полностью вверх, получим треугольник с высотой а и основанием а. Его стороны будут в этом случае равны 1,118 а (оис. 141).

Отношение ¹/_1,118 определяет пропорцию второй, весьма часто применявшейся формы построения центральной части здания или ансамбля.

3. Третий результат получится, если отложить на перпендикуляре заданный отрезок а таким образом, чтобы его середина совпала с основной прямой. Тогда мы получим квадрат, но он окажется повернутым в неудобное для дальнейшего построения положение (рис. 142).

Наблюдаемое в гробнице Менеса употребление двух частично совпадающих между собой систем пропорционирования — метода удвоений и системы диагональных (иррациональных) отношений — характерно для всего раннего периода Древнего Египта.

Ясно также, что на ранней стадии египетской архитектуры проблема пропорций была нераздельно связана с проблемой измерения и разбивки здания в натуре и, вероятно, возникла на основе практики строительства (значение квадрата обусловливалось тем, что он служил мерой площади).

Можно утверждать, что сознательно применяемая пропорциональная закономерность была методом художественного построения уже в искусстве времени I династии.

Построение пропорций по диагоналям четко обнаруживается в рельефе мемориальной стелы фараона Джета в Абидосе (рис. 143). В нем центральное изображение — фасад дворца — вписано в квадрат, отмечающий низ украшений, и в прямоугольник ¹/_1,118 определяющий верхнюю грань дворца (рис. 136). Рамка, окружающая дворец и эмблему, получена тремя засечками диагоналей из середины верхней стороны основного квадрата; отношение сторон в ней равно ¹/_1,802. Диагональ этой рамки равна внутренней ширине обрамления всей стены, высота которой, полученная двумя засечками, дает отношение катетов треугольника с углом в 60°.

На примере стелы фараона Джета можно видеть три свойства пропорций, применявшихся в Древнем Египте.

Первое: построение посредством диагоналей проводится с полной последовательностью: конечная величина, полученная в меньшей форме, переходит в большую форму как ее меньший размер.

Второе: пропорции в ранних памятниках берутся по внутренним обрезам стен или рамок. Это объясняется, вероятно, тем, что исходной пропорцией была пропорция интерьера, которую толщина стены своей добавкой нарушала (вскоре, впрочем, начали пропорционироваться и наружные размеры).

Третье: в Древнем царстве основная фигура часто смещается с оси внешнего прямоугольника по принципу, указанному на рисунке 144.

В стеле фараона Джета применено смещение основного квадрата по горизонтали (т. е. первые два построения на рис. 144).

В ансамбле Джосера в Саккаре (III династия) применены те же, очевидно, уже ставшие узаконенными, пропорции.

Исходной формой построения плана является центральная пирамида Джосера. Она сохранила архаическое неравенство сторон плана, заимствованное у мастабы. Отношение сторон ее плана 120 м : 107 м = 1,121. Оно отличается всего на 0,003 от «неточного квадрата» с отношением сторон ^√5/₂=^2,236/₂=^1,118/₁ (см. рис. 135 и 136).

Все дальнейшие пропорции ансамбля, так же как и пропорции основания пирамиды, построены на производных квадрата.

Цифры на чертеже указывают последовательность проведения линий (прямых и кривых) при построении чертежа.

К длинной южной стороне пирамиды со стороны главного входа примыкает большой двор, ширина которого равна узкой стороне пирамиды, т. е. исходной величине построения. Засечка диагонали квадрата, построенного на ширине двора (засечка 4), отсекает длину двора до выступа южной гробницы (до точки Б). Засечка диагонали полученного прямоугольника АБ (засечка 5) определяет положение внутренней поверхности стены, окружающей весь ансамбль (точка В). Диагональ квадрата (ГД), построенного на последней величине (засечка 11), отсекает общую ширину ансамбля (БД).

Фасад Южного дворца находится на средней оси всего ансамбля. Прямоугольник внешних стен ансамбля по их внутреннему габариту составляет два квадрата, а одна из диагоналей (ДЛ) этого прямоугольника проходит почти через центр пирамиды (прямоугольник внешних стен по наружному габариту дает случайную пропорцию: ^{544,9 м}/_{277,6 м} = 1,98).

Обращает на себя внимание сходство с этим построением построения гробницы в Негаде. Здесь также в основании пропорций лежит форма, близкая к квадрату, а наружный габарит гробницы состоит из двух квадратов. Но промежуточное построение по диагонали в ансамбле Саккары значительно сложнее. Равносторонний треугольник внутренней камеры гробницы в Негаде заменен здесь другим построением, дающим результат, близкий к пропорциям гробницы.

Правда, равносторонний треугольник встречается и в ансамбле Саккары. Он фиксирует положение северной стороны пирамиды, причем сторона этого равностороннего треугольника равна ширине всего ансамбля.

Пропорции почти всех остальных элементов генерального плана ансамбля в Саккаре построены также с применением квадрата и его производных. Так, отношение сторон широкой части двора Южного дворца равно отношению диагонали квадрата к его стороне, а двор по всей своей длине вместе с узкой его частью составляет два квадрата и т. д.

Величина основного модуля — ширина ступенчатой пирамиды — повторяется в длинах некоторых подчиненных частей, например двора хеб-сед (ИК).

Фасады ряда сооружений ансамбля в Саккаре также подчинены пропорциям, построенным на производных квадрата. Так, некоторые фасады часовен на западной стороне двора хеб-сед вписываются в квадрат и имеют внутренние членения по принципу отношения стороны квадрата к его диагонали (рис. 147, левая сторона). Фасады ряда часовен противоположной, восточной стороны двора вписаны в два вертикально поставленных квадрата, причем пропорции верхней части каждой из них построены в отношении стороны квадрата и его диагонали (рис. 148).

Более сложно сделан фасад Южного дворца (рис. 149). В нем верхняя часть, находящаяся над членящей стену лентой узора, вписана в два квадрата (абвг). Такой же квадрат (дежз) определяет положение внешних сторон декоративных средних полуколонн. Диагональ этих квадратов дает всю высоту гробницы с цоколем (засечка 1). Вся высота гробницы относится к высоте боковых устоев как ^√5/₂ (диагональ двух квадратов к большой стороне составленного из них прямоугольника).

Те же отношения применены в разрезе главного входа. Правда, к реставрированным высотам следует относиться с большой осторожностью.

Сама пирамида имеет отношение высоты к длине основания, равное 1 : 2 , а ее уступы уменьшаются кверху равномерно на одинаковую величину (около полуметра); тут применена простая арифметическая  прогрессия [Высота ступеней, начиная снизу (в м): 11,48; 10,95; 10,43; 9,92; 9,39; 8,89].

В итоге мы видим, что в ансамбле Саккары достигнуты поразительное единство и последовательная связанность пропорций, причем значительно меньшую роль, чем в архитектуре периода I династии, играют простые удвоения. Как общая композиционная схема, так и пропорции носят следы большого мастерства архитектора Имхотепа.

Следует отметить, что в египетских сооружениях, как показывают археологические обмеры, иногда наблюдается неточность разбивки углов в натуре. Например, в том же ансамбле Саккары коридор главного входа не параллелен наружной боковой стене. Грубая ошибка в разбивке прямого угла видна также в плане Рамессеума.

Однако, несмотря на эту неточность, почти во всех элементах ансамбля в Саккаре наблюдается единообразие пропорций, основанных на применении квадрата и его производных.

Ансамбль пирамид в Гизе, относящийся ко времени IV династии, скомпонован в единую группу. Все пирамиды довольно точно расположены по странам света почти параллельно одна другой. Трудность точного измерения пирамид (почти полное разрушение облицовки и непостоянный уровень песка) приводит к сильно различающимся у разных авторов размерам (так, высота пирамиды Хеопса указывается в отдельных случаях с разницей в 2 м). Поэтому при анализе пропорций здесь необходима особая осторожность.

В построении общего плана ансамбля наблюдаются простые отношения: равенства и половины (рис. 150). Так, расстояние от угла пирамиды Хеопса до центра пирамиды Хефрена, находящегося почти на продолжении диагонали пирамиды Хеопса, равно этой диагонали. Если провести координаты, параллельные сторонам (и странам света), через центры всех трех пирамид ансамбля, то окажется, что по линии север — юг расстояния между центрами пирамид одинаковы, причем эти расстояния равны 3/2 стороны пирамиды Хеопса (^За/₂ на рисунке 150, левая сторона). Точка пересечения координат О получена (при разбивке плана пирамиды Хефрена) откладыванием от первой пирамиды точно на юг размера, равного стороне пирамиды Хеопса, а. При постройке же последней пирамиды (Микерина) уже заданное расстояние между вершинами было просто повторено.

Центр каждой следующей пирамиды по горизонтальной координате отстоит от основания предыдущей на расстоянии, равном стороне своего собственного основания (с очень небольшой неточностью).

Сторона основания пирамиды Микерина (с ошибкой меньше 0,5%) равна половине стороны основания пирамиды Хефрена (в = ^б/₂). Как меньшая пирамида Микерина выдвинута вперед по координате запад — восток, так что юго-восточные углы всех трех пирамид находятся почти на одной прямой.

По координате запад — восток голова большого сфинкса и вершина пирамиды Хефрена находятся на равных расстояниях от точки пересечения координат О. Расстояние от того же центра О до конца пирамиды Хефрена равно расстоянию от этого центра до конца выдвинутого вперед преддверия верхнего храма при пирамиде Хефрена. Длина крытого хода к преддверию равна удвоенной стороне пирамиды (2б). Также равенством определяется расстояние от пирамиды Микерина до ее выдвинутого на восток преддверия; это расстояние равно расстоянию между вершинами крайних пирамид по основной координате — север — юг (^3а/₂ х 2).

Пропорции пирамид в Гизе близки между собой. Разрезы всех пирамид дают приблизительно одинаковое отношение высоты к стороне основания и сходный угол наклона боковых сторон, равный у пирамиды Хеопса 51° 20', у пирамиды Хефрена 50